Linear combination

Linear combination

정의

다음의 두개의 3차원 column vector $v,w$가 있다고 하자.

\[v=\begin{bmatrix} a_1\\ b_1\\ c_1 \end{bmatrix}, w=\begin{bmatrix} a_2\\ b_2\\ c_2 \end{bmatrix}\]

두 벡터에 상수 $\alpha,\;\beta$를 곱한 후 더하자. $\alpha,\;\beta$에 contraints가 없다면, 이것을 Linear combination이라고 부른다.

제약이 있으면?

제약에 따라 combination의 이름이 바뀐다.

1. Affine combination : $\Sigma a_i = 1$
2. Convex combination : $\Sigma a_i = 1\quad and \quad a_i >= 0$

두 상수를 곱한 후 더하면 다음과 같이 식이 전개된다.

\[\begin{aligned} \alpha v + \beta w &= \alpha \begin{bmatrix} a_1\\ b_1\\ c_1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} a_2\\ b_2\\ c_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \alpha a_1 + \beta a_2\\ \alpha b_1 + \beta b_2\\ \alpha c_1 + \beta c_2\\ \end{bmatrix} \end{aligned}\]

꼭 알아야 할 것

위의 형태는 아주 간단하게 벡터의 곱 형태로 표현가능하다. 이건 다들 아는 사실이다.

\[\begin{bmatrix} v,w \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\ \beta \end{bmatrix}\]

그러나 정말 중요한 것은 이제는 벡터의 곱으로 보지말고, 각 column vector에 상수배한 것을 결합한 “Linear combination(선형 결합)”을 떠올리자는 것이다. 이것은 공부를 해나갈수록 굉장히 중요하고도 핵심적인 개념이 된다.

특히 고차원으로 갈 수록 연립방정식을 풀 때 기하학적으로 문제를 풀어낼 수 없다. 당장 4차원만 하더라도 우리 머릿속에선 그림이 그려지지 않기 때문이다. 이같은 경우는 우리가 행렬을 row vector들의 선형 결합으로 바라볼 때 발생한다. 그러나 이 문제를 column vector들의 선형결합으로 바라본다면, 문제가 아주 쉬워지게 된다.

따라서 우리는 이제부터 행렬간의 곱을 column vector의 선형 결합으로 바라보는 연습을 해야한다.